Matematyka jest pełna fascynujących zagadnień, jednym z nich są właśnie fraktale. Znane również jako „figury samopodobne” lub „figury nieskończenie złożone”, występują nie tylko w domenie nauki, gdyż z łatwością odnajdujemy je zarówno w naturze (np. płatki śniegu, liście paproci, aloes, kalafior romanesco) jak i sztuce (np. Wieża Babel na obrazie Pietera Bruegla starszego, Indyjskie świątynie).
Termin fraktal został wprowadzony do użytku w latach 70 ubiegłego wieku przez urodzonego w Warszawie Benoît Mandelbrota. Jego odkrycie „zbiór Mandelbrota” nie był pierwszym znanym przykładem fraktalu, gdyż wcześniej istniało już mnóstwo zbiorów opisujących figury samopodobne. Jednak te w większości postrzegane były wyłącznie jako kontrprzykłady pewnych twierdzeń, dlatego nie były rozpatrywane pod kątem swoich unikatowych własności.
Ze względu na olbrzymią różnorodność, fraktale nie mają ścisłej formalnej definicji, a określa je zbiór cech, które muszą (w większości) spełniać. Aby figura była fraktalem powinna:
- być samopodobna w sensie dokładnym, przybliżonym lub stochastycznym
- mieć nietrywialną strukturę w każdej skali
- mieć strukturę nie dającą się łatwo opisać w języku tradycyjnej geometrii euklidesowej
- mieć wymiar Hausdorffa większy niż wymiar topologiczny
- mieć względnie prostą definicję rekurencyjną
- mieć naturalny („poszarpany”, „kłębiasty” itp.) wygląd
Należy dodać że z powodu luźnej definicji dochodzi do wielu nieścisłości, dla przykładu linia prosta formalnie jest samopodobna, ale zwyczajowo nie uważa się jej za fraktal.
Jednym z najpopularniejszych, a zarazem najprostszych fraktali jest „Trójkąt Sierpińskiego”. Został odkryty przez polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego już w 1915. Aby go otrzymać należy narysować trójkąt równoboczny, a następnie połączyć środki jego boków. W rezultacie otrzymamy 4 trójkąty podobne, z których „usuwamy” środkowy, a dla pozostałych powtarzamy całą operację, usuwając z nich kolejne punkty. Pozostały zbiór który nie został usunięty tworzy Trójkąt Sierpińskiego.
Kolejnym flagowym przykładem fraktalu jest „Kostka Mengera”. Jej ciekawą własnością jest fakt że jej przekątna jest „zbiorem Cantora”, a każda ściana przedstawia „Dywan Sierpińskiego”. Aby ją otrzymać należy podzielić sześcian na 27 identycznych sześcianów z płaszczyznami równoległymi do ścian. Następnie „usuwamy” środkowy sześcian oraz sześciany z nim sąsiadujące. Dla pozostałych 20 sześcianów powtarzamy tą procedurę, a powstały w ten sposób zbiór punktów będzie stanowił „Kostkę Mengera”.
To tylko kilka z niezliczonych przykładów fraktali, które warto znać, ponieważ poza ich estetycznymi walorami, mają one również praktyczne zastosowania. Są one wykorzystywane między innymi w algorytmach kompresji obrazów, predykcji pogody oraz generowania wirtualnych krajobrazów i tekstur.
Autor: Paweł Olszewski
Linki do źródeł:
https://pl.wikipedia.org/wiki/Fraktal
https://pl.wikipedia.org/wiki/Zbi%C3%B3r_Mandelbrota
https://pl.wikipedia.org/wiki/Beno%C3%AEt_Mandelbrot
https://pl.wikipedia.org/wiki/Tr%C3%B3jk%C4%85t_Sierpi%C5%84skiego
https://pl.wikipedia.org/wiki/Kostka_Mengera
Dla tych którzy chcą więcej:
https://adamedsmartup.pl/wyklady/fraktale-czyli-kiedy-matematyka-staje-sie-piekna/
https://home.agh.edu.pl/~zobmat/2020/III_kac_greg/index.html
