1. \(0.5 + 0.4\) - Dodawanie, nie potrzeba wyjaśnień, \(0.4 + 0.5 = 0.9\)
2. \(4 \times 12 - 4 \times 10 + 4 \times 2\) = \(40 + 8 = 48\)
3. Oblicz przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego równoramiennego o polu \(16\) - Pole trójkąta prostokątnego jest równe połowie iloczynu jego przyprostokątnych. W trójkącie prostokątnym równoramiennym przyprostokątne mają równe długości, przeciwprostokątna ma długość przyprostokątnej pomnożonej przez pierwiastek z \(2\).
4. Oblicz \(84 : 7\) - Dzielenie, nie potrzeba wyjaśnień, \(84 : 7 = 12\)
5. \(13^2 - 13^2 = 13 \times 13 = 169\)
6. \(2 + 3 \times 4\) - Kolejność wykonywania działań. \(2 + 3 \times 4 = 2 + (3 \times 4) = 2 + 12 = 14\)
7. \(2x + 1 = 71\) - \(x = \frac{{71 - 1}}{2} = 35\)
8. \(111 : 3\) - Dzielenie, nie potrzeba wyjaśnień, \(111 : 3 = 37\)
9. \(((3^2 - (2 \times 2^2) - 1) \times 99999)\) - Wartość \((3^2 - (2 \times 2^2) -1)\) wynosi \(0\), iloczyn jakiekolwiek liczby i zera wynosi \(0\)
10. \(-12 + 4 - 7\) - \(-12 + 4 - 7 = -8 - 7 = -15\)
11. \(\frac{2}{3} \times \frac{4}{5}\) - \(\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{(2 \times 4)}{(3 \times 5)}\)
12. Ile przekątnych ma sześciokąt foremny? - Wzór na liczbę przekątnych \(N\)-kąta foremnego to \(\frac{N(N-3)}{2}\)
13. Ile wynosi liczba \(\pi\) zaokrąglona do liczb całkowitych? - \(3 < \pi < 3,15 < 3,5\), zaokrąglamy więc w dół, do \(3\)
14. \(5!\) - \(5! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 6 \times 4 \times 5 = 24 \times 5 = 120\)
15. \(15 - 29\) - Odejmowanie, nie potrzeba wyjaśnień, \(15 - 29 = -14\)
16. \(144^{\frac{1}{2}}\) - \(144^{\frac{1}{2}} = \sqrt{144} = 12\)
17. Oblicz pole trapezu o podstawach \(2\) i \(4\) oraz wysokości \(3\) - Wzór na pole trapezu to \(\frac{{(a+b)}}{2} \times h = \frac{{2+4}}{2} \times 3= 9\)
18. \(14 \times 11\) - Mnożenie, nie potrzeba wyjaśnień, \(14 \times 11 = 154\)
19. Oblicz stężenie procentowe roztworu o masie \(100\) gramów w którym rozpuszczono \(5\) gramów soli - \(C_p = \frac{{5}}{{100}} \times 100\% = 5\%\)
20. Oblicz stosunek pola do obwodu kwadratu o boku równym \(4\) - \(L_{kwadratu} = 4a = 4 \times 4\), \(P_{kwadratu} = a^2 = 4 \times 4 = L_{kwadratu}\), odpowiedź wynosi więc \(1\)
21. Oblicz \((19^2-11^2)\) - \((19^2 - 11^2) = (19+11)(19-11) = 30 \times 8 = 240\)
22. \(9^3\) - \(9^3 = 9 \times 9 \times 9 = 81 \times 9 = 729\)
23. Sklep obniżył początkowo cenę butów, które kosztowały oryginalnie \(150\) złotych, o \(30\%\). Miesiąc później podwyższył ich aktualną cenę o \(20\%\). Ile kosztują teraz buty? - Po pierwszej obniżce buty kosztowały \((100\%-30\%)/100\%\times150 = 0.7\times150 = 105\). Po podwyżce kosztowały \((100\%+20\%)/100\% \times 105 = 1.2\times105 = 126\) złotych.
24. \(\left(\frac{{121}}{{11}}\right) \times 12\) - \(\left(\frac{{121}}{{11}}\right) \times 12 = 11 \times 12 = 132\)
25. \(45\%\) z \(45\%\) z \(45\%\) z \(45\%\) z \(45\%\) z \(45\%\) z \(45\%\) z \(0\) - \(45\%\) z \(45\%\) z \(45\%\) z \(45\%\) z \(45\%\) z \(45\%\) z \(45\%\) z \(0\) = \((0.45)^7 \times 0 = 0\)
1. Ciało leci z prędkością \(10 \, \text{m/s}\). Ile przeleci w \(2\) sekundy? - \(s = v \cdot t - 10 \, \text{m/s} \times 2 \, \text{s} = 20 \, \text{m}\)
2. Ciało ma przyspieszenie \(5 \, \text{m/s}^2\). Zaczynało z prędkością \(0 \, \text{m/s}\). Teraz ma prędkość \(10 \, \text{m/s}\). Ile czasu minęło? - \(v = a \cdot t \Rightarrow t = \frac{v}{a} = \frac{10 \, \text{m/s}}{5 \, \text{m/s}^2} = 2 \, \text{s}\)
3. Oblicz siłę, która daje przyspieszenie \(5 \, \text{m/s}^2\) ciału o masie \(200 \, \text{kg}\). - \(F = m \cdot a = 5 \, \text{m/s}^2 \times 200 \, \text{kg} = 1000 \, \text{N}\)
4. Ciało leci z prędkością \(2 \, \text{m/s}\). Ile przeleci w \(12\) sekund? - \(s = v \cdot t = 2 \, \text{m/s} \times 12 \, \text{s} = 24 \, \text{m}\)
5. Ciało ma przyspieszenie \(4 \, \text{m/s}^2\). Zaczynało z prędkością \(0 \, \text{m/s}\). Teraz ma prędkość \(76 \, \text{m/s}\). Ile czasu minęło? - \(\Delta v = a \cdot t \Rightarrow t = \frac{\Delta v}{a} = \frac{76 \, \text{m/s}}{4 \, \text{m/s}^2} = 19 \, \text{s}\)
6. Oblicz siłę, która daje przyspieszenie \(2 \, \text{m/s}^2\) ciału o masie \(100 \, \text{kg}\). - \(F = m \cdot a = 2 \, \text{m/s}^2 \times 100 \, \text{kg} = 200 \, \text{N}\)
7. Napisz nazwę procesu przejścia ciała ze stanu gazowego na stały, z pominięciem stanu ciekłego. - Jest to resublimacja
8. Napisz nazwę procesu przejścia ciała ze stanu stałego na gazowy, z pominięciem stanu ciekłego. - Jest to sublimacja
9. Napisz nazwę procesu przejścia ciała ze stanu stałego na ciekły. - Jest to topnienie
10. Napisz nazwę procesu przejścia ciała ze stanu gazowego na ciekły. - Jest to skraplanie
11. Oblicz częstotliwość drgania o okresie równym \(2 \, \text{s}\). - \(f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2 \, \text{s}} = 0.5 \, \text{Hz}\)
12. Oblicz częstotliwość drgania o okresie równym \(25 \, \text{s}\). - \(f = \frac{1}{T} = \frac{1}{25 \, \text{s}} = 0.04 \, \text{Hz}\)
13. Oblicz częstotliwość drgania o okresie równym \( \frac{1}{2} \, \text{s}\). - \(f = \frac{1}{T} = \frac{1}{\frac{1}{2} \, \text{s}} = 2 \, \text{Hz}\)
14. Oblicz ciężar ciała o masie \(145 \, \text{kg}\). Przyjmij, że \(g = 10\). - \(Q = m \cdot g = 10 \, \text{m/s}^2 \times 145 \, \text{kg} = 1450 \, \text{N}\)
15. Oblicz ciężar ciała o masie \(24 \, \text{kg}\). Przyjmij, że \(g = 10\). - \(Q = m \cdot g = 10 \, \text{m/s}^2 \times 24 \, \text{kg} = 240 \, \text{N}\)
16. Oblicz gęstość sześcianu o boku \(5 \, \text{m}\) i masie \(750 \, \text{kg}\). - \(d = \frac{m}{V} = \frac{750 \, \text{kg}}{(5 \, \text{m})^3} = 6 \, \text{kg/m}^3\)
17. Podaj wartość prędkości dźwięku w warunkach normalnych. - Jest to \(343 \, \text{m/s}\)
18. Na dno pudełka będące kwadratem o boku \(10 \, \text{cm}\) działa siła \(1000 \, \text{N}\). Oblicz ciśnienie. - \(p = \frac{F}{S} = \frac{1000 \, \text{N}}{(0.1 \, \text{m})^2} = 100000 \, \text{Pa}\)
19. Na dno pudełka będące kwadratem o boku \(20 \, \text{cm}\) działa siła \(300 \, \text{N}\). Oblicz ciśnienie. - \(p = \frac{F}{S} = \frac{300 \, \text{N}}{(0.2 \, \text{m})^2} = 7500 \, \text{Pa}\)
20. Na dno pudełka będące kwadratem o boku \(1 \, \text{m}\) działa siła \(10 \, \text{N}\). Oblicz ciśnienie. - \(p = \frac{F}{S} = \frac{10 \, \text{N}}{(1 \, \text{m})^2} = 10 \, \text{Pa}\)
21. Sprężyna rozciągnęła się o \(2 \, \text{m}\). Współczynnik sprężystości wynosi \(1000 \, \text{N/m}\). Oblicz energię potencjalną sprężystości tej sprężyny. - \(E_p = \frac{k \cdot x^2}{2} = \frac{1000 \, \text{N/m} \cdot (2 \, \text{m})^2}{2} = 2000 \, \text{J}\)
22. Sprężyna rozciągnęła się o \(20 \, \text{cm}\). Współczynnik sprężystości wynosi \(50 \, \text{N/m}\). Oblicz energię potencjalną sprężystości tej sprężyny. - \(E_p = \frac{k \cdot x^2}{2} = \frac{50 \, \text{N/m} \cdot (0.2 \, \text{m})^2}{2} = 1 \, \text{J}\)
23. Sprężyna rozciągnęła się o \(12 \, \text{cm}\). Współczynnik sprężystości wynosi \(10 \, \text{N/m}\). Oblicz energię potencjalną sprężystości tej sprężyny. - \(E_p = \frac{k \cdot x^2}{2} = \frac{10 \, \text{N/m} \cdot (0.12 \, \text{m})^2}{2} = 0.072 \, \text{J}\)
24. Energia potencjalna sprężystości sprężyny wynosi \(20 \, \text{J}\). Współczynnik sprężystości wynosi \(10 \, \text{N/m}\). Oblicz, o ile rozciągnęła się sprężyna. - \(E_p = \frac{k \cdot x^2}{2} \Rightarrow x = \sqrt{\frac{2 \cdot E_p}{k}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 20 \, \text{J}}{10 \, \text{N/m}}} = 2 \, \text{m}\)
25. Energia potencjalna sprężystości sprężyny wynosi \(32000 \, \text{J}\). Współczynnik sprężystości wynosi \(0.625 \, \text{N/m}\). Oblicz, o ile rozciągnęła się sprężyna. - \(E_p = \frac{k \cdot x^2}{2} \Rightarrow x = \sqrt{\frac{2 \cdot E_p}{k}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 32000 \, \text{J}}{0.625 \, \text{N/m}}} = 320 \, \text{m}\)
1. Oblicz Logarytm o podstawie \(3\) z \(27\) - \(3^3 = 27\), więc \(\log_3 27 = 3\)
2. Oblicz \(1331^{⅓}\) - \(1331^{⅓} = \sqrt[3]{1331} = 11\)
3. Oblicz \(x\): \(x^2-16x+64=0\) - \(x^2-16x+64=0 \Leftrightarrow (x-8)^2=0 \Leftrightarrow (x-8)=0 \Leftrightarrow x=8\)
4. Oblicz \(f(x)\): \(f(x) = x^2-2x+1\), \(x=1001\) - \(f(x) = x^2-2x+1 = (x-1)^2\), \((1001-1)^2 = 1000^2 = 1000000\)
5. Oblicz \(x\): \(x^2-x+\left(\frac{1}{4}\right)=0\) - \((x-\frac{1}{2})^2 = 0\), \(x = \frac{1}{2}\)
6. Oblicz \(x\): \(| (x-2)^2 | = x^2 - x-2 = -x\), \(2x = 2\), \(x = 1\)
7. Oblicz wiek (w latach) Igora w maju 2022, jeśli urodził się w kwietniu 2019. - maj jest po kwietniu, \(2022-2019 = 3\)
8. Oblicz \(12 \times 15\) - Nie potrzeba wyjaśnień, \(12 \times 15 = 180\)
9. Oblicz \(1 \times 2 + 3 \times 4 + 5 \times 6 + 7 \times 8\) - \(1 \times 2 + 3 \times 4 + 5 \times 6 + 7 \times 8 = 14 + 30 + 56 = 100\)
10. Oblicz średnią arytmetyczną liczb \(1,3,5,7,9,11,13,15,17,19\) - suma pierwszych \(n\) liczb nieparzystych jest równa \(n^2\), więc ich średnia równa jest \(n\), czyli \(10\) bo jest \(10\) liczb
11. Oblicz długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego jeżeli kąt pomiędzy podstawą a przeciwprostokątną wynosi \(30\) stopni, a wysokość wynosi \(5\) - \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2} = \frac{5}{x}\), \(x=2 \times 5 = 10\)
12. Oblicz \(48 \times 25\) - \(48 \times 25 = 1200\)
13. Oblicz Logarytm o podstawie \(2\) z \(65536\) - \(16\), bo \(2^{16}=65536\)
14. Oblicz wartość funkcji \(f(x) = x^x\) dla \(x = -2\) - \((-2)^{-2} = (-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}\)
15. Oblicz \(17 \times 19\) - \(17 \times 19 = (18-1)(18+1) = 18^2-1 = 323\)
16. Oblicz \(51 \times 49\) - \(51 \times 49 = (50-1)(50+1) = 50^2-1 = 2499\)
17. Oblicz pochodną z \(18x^2 + 9x + 19\) - pochodna z \(18x^2 + 9x + 19 =\) pochodna z \(18x^2\) + pochodna z \(9x + 0 = 36x + 9\)
18. Oblicz pochodną z \(20x\) - pochodna z \(20x = 20\)
19. Oblicz \(9^3\) - \(9^3 = 9 \times 9 \times 9 = 81 \times 9 = 729\)
20. Oblicz \((23+45+18+14)^4\) - \((23+45+18+14)^4 = 100^4 = 100000000\)
21. Oblicz \((8129+1295+144+432)^{\left(1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)}\) - Wyrażenie równe jest \((10000)^{\frac{1}{4}} = \sqrt{\sqrt{10000}} = 10\)
22. Oblicz \(1000!/998!\) - \(1000!/998! = 999 \times 1000 = 999000\)
23. Oblicz \(42 \times 12\) - \(42 \times 12 = 504\)
24. Oblicz \(1296/12\) - \(1296/12 = 108\)
25. Oblicz \(140 \times 27\) - \(140 \times 27 = 3780\)
1. Oblicz ze wzoru \(h=\frac{gt^2}{2}\), gdzie \(h\) to wysokość, \(t\) to czas, a \(g\) to przyspieszenie ziemskie. W tym przypadku \(h=2000\) m.
2. Ze wzoru \(F=ma\) obliczamy przyspieszenie. Wynosi ono \(0.5\) m/s\(^2\). Podstawiając do tego samego wzoru, możemy obliczyć, że \(F=15\) N.
3. Oblicz ze wzoru \(h=\frac{gt^2}{2}\), gdzie \(h\) to wysokość, \(t\) to czas, a \(g\) to przyspieszenie ziemskie. W tym przypadku \(h=18000\) m.
4. Oblicz ze wzoru \(h=\frac{gt^2}{2}\), gdzie \(h\) to wysokość, \(t\) to czas, a \(g\) to przyspieszenie ziemskie. W tym przypadku \(h=1445\) m.
5. Oblicz ze wzoru \(h=\frac{gt^2}{2}\), gdzie \(h\) to wysokość, \(t\) to czas, a \(g\) to przyspieszenie ziemskie. W tym przypadku \(h=3920\) m.
6. Ze wzoru \(F=ma\) obliczamy przyspieszenie. Wynosi ono \(0.5\) m/s\(^2\). Podstawiając do tego samego wzoru, możemy obliczyć, że \(F=50\) N.
8. Ze wzoru \(F=ma\) obliczamy przyspieszenie. Wynosi ono \(\frac{10}{3}\) m/s\(^2\). Podstawiając do tego samego wzoru, możemy obliczyć, że \(F=100\) N.
8. Ze wzoru \(F=ma\) obliczamy przyspieszenie. Wynosi ono \(0.5\) m/s\(^2\). Podstawiając do tego samego wzoru, możemy obliczyć, że \(F=1072\) N.
9. Ze wzoru \(p = \rho gh\), gdzie \(\rho\) to gęstość, obliczamy wartość ciśnienia hydrostatycznego. Pamiętaj, żeby zmienić jednostki, jeżeli jest taka potrzeba. W tym przypadku \(p = 1500\) Pa.
10. Ze wzoru \(p = \rho gh\), gdzie \(\rho\) to gęstość, obliczamy wartość ciśnienia hydrostatycznego. Pamiętaj, żeby zmienić jednostki, jeżeli jest taka potrzeba. W tym przypadku \(p = 1250\) Pa.
11. Przekształcamy wzór na moment siły \(M=rF\sin(\alpha)\), czyli mamy, że \(r = \frac{M}{F\sin(\alpha)}\). Z tego wychodzi nam, że \(r = 0.2\) m.
12. Przekształcamy wzór na moment siły \(M=rF\sin(\alpha)\), czyli mamy, że \(r = \frac{M}{F\sin(\alpha)}\). Z tego wychodzi nam, że \(r = 0.2\) m.
13. Przekształcamy wzór na moment siły \(M=rF\sin(\alpha)\), czyli mamy, że \(r = \frac{M}{F\sin(\alpha)}\). Z tego wychodzi nam, że \(r = 0.1\) m.
14. Przekształcamy wzór na moment siły \(M=rF\sin(\alpha)\), czyli mamy, że \(r = \frac{M}{F\sin(\alpha)}\). Z tego wychodzi nam, że \(r = 0.24\) m.
15. Obliczamy ze wzoru na ciepło: \(Q=mc(T_k-T_p)\) i wychodzi nam, że \(Q=20000\) J.
16. Obliczamy ze wzoru na ciepło: \(Q=mc(T_k-T_p)\) i wychodzi nam, że \(Q=1519.2\) J.
17. Korzystamy ze wzoru: \(V=\text{prędkość kołowa} \times \text{długość fali}\), czyli \(V=200\) m/s.
18. Obliczamy ze wzoru na ciepło: \(Q=mc(T_k-T_p)\) i wychodzi nam, że \(Q=1400\) J.
19. Korzystamy ze wzoru: \(V=\text{prędkość kołowa} \times \text{długość fali}\), czyli \(V=400\) m/s.
20. Korzystamy ze wzoru: \(V=\text{prędkość kołowa} \times \text{długość fali}\), czyli \(V=10\) m/s.
21. Korzystamy ze wzoru: \(V=\text{prędkość kołowa} \times \text{długość fali}\), czyli \(V=600\) m/s.
22. Korzystamy ze wzoru: \(I=\frac{P}{4\pi r^2}\), gdzie \(I\) to głośność, \(P\) to moc, a \(r\) to promień. Obliczamy, że \(I=250\) W/m\(^2\).
23. Korzystamy ze wzoru: \(I=\frac{P}{4\pi r^2}\), gdzie \(I\) to głośność, \(P\) to moc, a \(r\) to promień. Obliczamy, że \(I=2.6\) W/m\(^2\).
24. Korzystamy ze wzoru: \(I=\frac{P}{4\pi r^2}\), gdzie \(I\) to głośność, \(P\) to moc, a \(r\) to promień. Obliczamy, że \(I=13.3\) W/m\(^2\).
25. Korzystamy ze wzoru: \(I=\frac{P}{4\pi r^2}\), gdzie \(I\) to głośność, \(P\) to moc, a \(r\) to promień. Obliczamy, że \(I=166.7\) W/m\(^2\).